Teoría de Galois

Encargado: Diego Sulca

Resumen: Unas de las primeras cosas que aprendemos cuando estudiamos ecuaciones es la obtención de las soluciones de una ecuación de grado 2 por medio del método de Bhaskara. Con este método, las soluciones se expresan a partir de los coeficientes de la ecuación, usando las operaciones elementales: suma, resta, multiplicación y división, como así también la raíz cuadrada.

Una pregunta natural es saber si hay un método de resolución similar para una ecuación de cualquier grado, es decir, obtener las raíces a partir de los coeficientes usando las operaciones elementales juntos con las operaciones de extracciones raíces (cuadrada, cúbica, etc.,). Para ecuaciones de grado 3 y grado 4 la respuesta es positiva. Sin embargo, cuando pasamos a grado 5, sucede que la ecuación general no admite un método de solución como el anteriormente descrito. Este hecho es una de las primeras aplicaciones  (ya también fuente motivadora) de la Teoría de Galois, que vincula la teoría de extensiones de cuerpos con la teoría de grupos.

Si la ecuación inicial tiene coeficientes racionales, entonces las soluciones generalmente viven en un cuerpo estrictamente más grande que los racionales. Tomemos el menor de estos cuerpos, digamos K. Este es un cuerpo que contiene a Q, los racionales. El conjunto de automorfismos de este cuerpo forma un grupo, llamado el grupo de Galos de K, o grupo de Galois de la ecuación. El llamado Teorema de Galois afirma que una ecuación es resoluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es resoluble, en el sentido de teoría de grupos. La imposibilidad de la resolución de la ecuación de grado 5 tiene que ver con el hecho de que el grupo de permutaciones de 5 elementos no es resoluble.

En este curso haremos una introducción a la teoría de Galois en vista a probar el teorema de imposibilidad de resolución de la ecuación de grado 5.Es indispensable tener una base de álgebra lineal y manejar nociones de teoría de grupos y anillos.